1 分形几何的发展演变
分形几何的历史可以追溯到17世纪，德国数学家、哲学家莱布尼茨（Leibniz）开启了自相似思想理论化的进程。1872年，德国数学家卡尔·魏尔施特拉斯（Karl Weierstrass）在图1 经典分形模型皇家普鲁士科学院给出分形的第一个定义：分形是一种具有处处连续但又处处不可微等的反直觉性质的函数图形[1]。19世纪末20世纪初，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）、海里格·冯·科赫（Helge von Koch）、瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wacław Sierpinski）等人在前人研究的基础上进行完善和探索，构建了康托集、科赫曲线、谢尔宾斯基三角形等经典的分形模型（图1）。1918年3月，费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff)扩展了“维数”的定义，允许几何具有非整数维数。随后，法国数学家保罗·莱维（Paul Lévy）和帕克·莫兰（Park Moran）通过数学概念进一步研究自相似性，对分形的研究具有重要意义。
美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1967年在其发表的论文《英国的海岸线有多长》（How Long Is the Coastof Britain?）中最早提出“分形”（Fractal）一词。1975年，曼德尔布罗特通过构造计算机可视化模型来说明“分形”的数学定义[2]。1977年，他在《分形：形式、机遇和维数》（Fractals: Form, chance, and dimension）一文中对分形的概念、意义和方法做出进一步研究。1982年出版的《大自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）对分形做出如下的定义：局部以某种形式与整体相似的形状叫做分形[3]，分形几何就是以这类图形为对象的数学分支，这标志着分形理论的初步形成，为分形这一新的科学分支发展提供了又一持续推动力[4]。之后，英国数学家法尔科内（Falconer）对分形进行了严格的数学定义，分形一般具有以下特点：
1）在任意小的比例尺度上都有精细的结构；
2）其不规则性无论在整体或局部都难以用传统欧氏几何的语言来描述；
3）具有某种（近似的或统计的）自相似的形式；
4）一般Df >Dt,即其分形维数（通常为豪斯道夫维数）严格大于拓扑维数；
5）在多数情况下有着简单的递归定义1；
6）其大小不能用通常的测度（例如面积、长度、体积等）来量度[5]。
作为分形理论的产物，分形几何从简单的数学概念出发，通过数学语言描述自然界中的复杂的不规则形状，为分形几何与建筑形态生成的结合提供了理论基础。
在建筑学科领域，分形几何为建筑形态解析性研究和建筑形态生成性研究提供了重要的分析工具和操作方法。美国数学家、建筑理论家尼科斯·A·萨林加罗斯（NikosA.Salingaros）在其发表的《一个物理学家眼里的建筑法则》（The Laws of ArchitectureFrom a Physicist’s Perspective)和《新建筑中的分形》（Fractal in the NewArchitecture）等文章中，基于分形的视角，对传统建筑的分形特性和现代主义建筑的分形匮乏进行分析。并在之后的几年中，对分形理论在城市和建筑研究中应用进行了深入的研究。此后，美国马里兰大学建筑学院教授卡尔·博维尔（Carl Bovill）在出版的《建筑设计中的分形几何》（Fractal Geometryin Architecture and Design）一书中，提出了分形几何与建筑设计结合的两个趋势:一个是基于分形几何分析建筑实例的秩序与韵律、对比与均衡等关系；另外一个是基于分形几何指导建筑形态生成设计，使得整体与局部具有自相似性，形成复杂的韵律，同时使得建筑与自然环境和谐统一。在建筑形态生成实践中，历史上许多建筑师对分形的发展做出了杰出的贡献，如朱塞佩·特拉尼（Giuseppe Terragni）、彼得·埃森曼（Peter Eisenman）、丹尼尔·李伯斯金（Daniel Libeskinds）、艾西顿·雷加特·麦克杜加尔（Ashton Raggatt Mcdougall）、彼得·戴维森（Peter Davidson）、彭士佛（Heneghan Peng）、扎哈·哈迪德（ZahaHadid）等等，他们都有意识的运用分形几何进行建筑形态生成，深刻影响了后来建筑师的设计思维，并对探索分形几何在城市设计和建筑发展模式上的应用产生了推动作用。国外建筑设计典型案例包括最早的将分形几何学与建筑设计结合的美国建筑师埃森曼设计的住宅X和11a，澳大利亚建筑师麦克杜加尔设计的墨尔本皇家理工大学的礼堂，实验建筑工作室（Lab Architecture）设计的墨尔本联邦广场和北京SOHO，爱尔兰赫尼根-彭建筑事务所（Heneghan Peng）设计的大埃及博物馆以及英国建筑师扎哈·哈迪德设计的阿卜杜拉国王石油研究中心等等。通过对这些典型分形案例的解析，归纳总结尺度层级叠加、自相似、递归生成等分形几何操作方法在建筑形态生成中的运用，进一步探究基于分形几何的建筑形态生成方法。在计算机数字化生成快速发展的背景下，分形几何的生成方法为复杂建筑形态的生成提供了更为理性的实践基础，形状文法（Shape Grammar）、L系统（L-system）、元胞自动机（Cellular Automata）、泰森多边形（Voronoi Diagram）、遗传算法（GeneticAlgorithms）等方法有助于我们去探索复杂建筑形态的生成规律[6]，更好地将设计思路和迭代生成的分形逻辑结合，在建筑中实现一种不同于以往的美学韵律，生成创新性的建筑形态。
2 基于分形几何的建筑形态生成
分形几何赋予了建筑形态生成的内在逻辑，为建筑师处理建筑形态与场地环境、形式自治与生成规则及建筑表皮与细部复杂性之间的关系时提供了重要操作手法，使得建筑形态具有与场地环境的和谐统一、生成的自治、复杂的韵律等特征。因此本文从场地文脉的连续性（Site Context Continuity）、形式生成的自治（Formal Generation Autonomy）以及细部拼贴的复杂性（Detail CollageComplexity）三个方面，对国外建筑设计典型案例进行解析，探究基于分形几何的建筑形态生成方法。
2.1 场地文脉的连续性
传统场地文脉的连续性是通过轴线、对位等几何秩序获取，通过基于分形几何的形态生成，建筑师可以从场地历史环境中提取几何原型，从平面组织和建筑形态等方面，运用自相似、递归迭代等手法进行分形几何操作，获得新建筑与场地文脉之间的连续性。
(1) 但丁纪念堂（Dante Memorial Hall）
1938年，意大利建筑师朱塞佩·特拉尼（GiuseppeTerragni）与皮埃特罗·林埃里（PietroLinieri）合作设计了国际建筑史上的重要作品—但丁纪念堂，用以纪念意大利历史上最伟大的诗人但丁。作为意大利理性主义建筑师的代表之一，特拉尼追求极致的几何和比例关系，通过理性控制下的建筑与环境的设计、空间与流线的组织展现其特有的建筑形式语言。但丁纪念堂选址于罗马广场大街和卡尔大街交叉口。卡尔大街对面是中世纪的康提塔，而罗马广场大街对面是马克辛提乌斯巴西利卡遗址，如何建立现代建筑与场地文脉的呼应是建筑师面临的挑战。在坚持理性主义设计方法的同时，特拉尼积极地从历史建筑中汲取灵感，但丁纪念堂纯净的比例的灵感来自于古罗马时代的马克辛提乌斯巴西利卡的比例。黄金比例的矩形是特拉尼对历史的呼应。他把斐波那契螺旋线作为平面基准线进行建筑平面的生成，以斐波那契数为边长生成黄金分割正方形，7个不同尺度层级的黄金分割正方形相互交迭形成一个拥有黄金比例的矩形，平面的局部与整体表现出自相似的特征（图2）。因为斐波那契螺旋线具有完美的比例，建筑平面被划分成具有自相似特征的正方形。特拉尼通过几何和比例建立历史建筑与现代建筑的对话，实现场地文脉的连续性，其背后蕴含的理性主义设计手法和严谨的几何关系对此后建筑师的分形建筑创作产生了深远的影响。
(2) 大埃及博物馆（The Grand EgyptianMuseum）
2003年，位于埃及开罗的大埃及博物馆（TheGrand Egyptian Museum）设计竞赛金奖由美籍华裔建筑师彭士佛夫妻共同创办的赫尼根-彭建筑事务所（Heneghan Peng）获得，其设计理念中明确强调了基于分形几何的生成方法。博物馆基地位于吉萨金字塔群与开罗之间的沙漠平原边缘，从场地到三个金字塔的视线勾勒出建筑物的基本框架—一个倒三角形，博物馆的广场和屋顶结构线条沿这些视线绘制。考虑到独特的场地文脉，建筑师彭士佛以分形几何-谢尔宾斯基三角形为灵感展开整个设计。立面是由分形几何结构构成的半透明的倾斜石材墙面构成，局部进行旋转形成入口，远远望去，像一层薄薄的面纱，在沙漠中开启和闭合。建筑师将尺度层级、自相似和递归的方法引入到博物馆的设计中（图3）。建筑立面存在着一种不同尺度层级的叠加，不同尺度的三角形相互嵌套满足了人们不同视距的观赏需要。谢尔宾斯基三角图形迭代生成了多样化的层次和结构，使建筑充满了复杂的韵律感和折叠感。基于分形几何—谢尔宾斯基三角形生成的建筑形态连接了埃及的远古与现代，实现场地文脉的连续性。
2.2 形式生成的自治
受到荷兰风格派和意大利建筑师特拉尼的深刻影响，形式自治是美国当代重要的建筑理论家和建筑师的艾森曼建筑生涯的一贯追求。分形的产生是一种不断迭代的过程，这种迭代过程是空间形体变换的基本方式。从他的1975年的住宅X开始，基于分形几何的生成规则赋予了建筑形式生成的内在逻辑，成为他探索和实现形式自治的重要形式操作手法。
(1) House X
在早期住宅系列的实践中，艾森曼设计了位于密歇根州布卢姆菲尔德山（BloomfieldHills, Michigan）的X住宅，其空间充分体现出分形几何的自相似特征。X住宅在设计之初，摆脱建筑功能的束缚，最初的形体是由四个相互叠加的“L”形组成。艾森曼通过运用不同尺度层级的体块和多样的建筑材料，营造出复杂多样的自相似结构的空间，使得局部空间与建筑整体空间形成了自相似的嵌套。四个部分以”L”形走廊做连接，进行空间的过渡。通过建筑中的门、窗、墙等基本构成元素的排列，形成建筑的内部空间。基于分形几何的生成规则赋予了建筑形式生成的内在逻辑。艾森曼通过体块的迭代演变，延续自相似和连续性的特点，表现独特的分形韵律（图4）。
(2) 11a House
1978年，艾森曼向世人展示了其为美国加利福尼亚州帕洛阿尔托市（Palo Alto, California）的Kurt Forster夫妇设计的作品住宅11a。从方案的空间上来看，它是由三对大小不同的立体“L”形组合而成。其思路是首先将一个正方形分成八份，然后将一个角部去掉，形成一个“L”形。通过尺度缩放，他将三维的“L”形进行不同比例的缩放以满足不同功能房间的使用需求，然后运用分形迭代手法，并置形成建筑空间嵌套结构。最终，艾森曼通过不同比例的“L”组合，形成了一系列自相似的建筑空间，实现了将分形几何与建筑设计的结合（图5）。
2.3 细部拼贴的复杂性
分形几何在当代建筑设计中最常见的应用是建筑表皮的细部拼贴。基于分形几何进行表皮设计，为建筑师提供了一种便捷的方法。在ARM建筑事务所、丹尼尔·李伯斯金、实验建筑工作室的建筑作品中，基于分形几何的装饰图案实现了复杂性的建筑表皮。[7]
(1) 墨尔本皇家理工大学礼堂（RMIT STOREYHALL）
1996年，ARM建筑事务所（Ashton RaggattMcdougall）参与了墨尔本皇家理工大学礼堂（RMIT STOREY HALL）的改建项目，包括外立面和室内设计，希望将其创建为一个国际标准的展览和礼堂设施。建筑师结合彭罗斯贴砖（Penrose tiling）探索立面的复杂图案的平铺问题。彭罗斯贴砖是由英国著名的数学家和物理学家罗杰·彭罗斯（RogerPenrose）于1974年创造的一种具有革命意义的贴砖样式，即通过两种不同的形状构造出永不重复并能无限延续的非周期性图案。基于这种图形组合形式，建筑师将两种形状的瓷砖以无限的变化组合在一起，进行立面的瓷砖拼贴，形成不同尺度层级缩放的图形效果，丰富了立面形式，并使其呈现出自相似性的分形特点（图6）。在礼堂入口的外立面上，青铜瓷砖的拼贴具有强烈的视觉感受。置身于重新设计的礼堂中，观者能够感受到历史的痕迹，以及色彩丰富、复杂变化的瓷砖图案拼贴。
(2) 伦敦维多利亚和阿尔伯特博物馆（Victoria& Albert Museum）
1996年，丹尼尔·李伯斯金（Daniel Libeskinds）赢得了维多利亚和阿尔伯特博物馆（Victoria & Albert Museum）扩建的竞赛。扩建的建筑是由一个螺旋形结构组成，螺旋线将历史、现在和将来交织在一起，螺旋形的比例、材料和空间形式彰显着博物馆设计的创新性和独特性。不同于传统的一轴一心的螺旋，博物馆的螺旋形随着离地高度的变化，大小也发生相应变化，并沿着不同的轨迹延伸到临近的历史建筑，为游客提供多样的参观路线和前所未有的空间体验。扩建的建筑的外立面材质是灰白色瓷砖，其色调介于波特兰石的冷灰色和已有的自然历史博物馆的暖白色之间。作为外立面重要的组成部分，瓷砖的拼贴形成了与黄金分割比例相关的分形图案，与具有分形特性的晶体的结构组成相似。建筑师采用安曼非周期性拼贴的方式（Ammann Aperiodic Tiling），即在立面中把“L”形和“T”形的瓷砖以无限变化的方式进行组合，形成的图案具有平移不对称的非周期性的特点，并且在不同尺度层级下图案的部分与整体具有极强的自相似性，体现了分形的特点（图7）。通过控制图案的凹凸关系，在建筑表面形成微妙的渐变，带来很好的视觉体验。扩建的螺旋形建筑的建造不仅振兴整个博物馆，也将在伦敦创造一个地标，建立过去与现在在艺术、建筑上的交流。
(3) 墨尔本联邦广场（Melbourne FederationSquare）
1997年，在澳大利亚墨尔本市，由实验建筑工作室的彼得·戴维森（Peter Davidson）和唐纳德（Bates Smart）设计的墨尔本联邦广场具有分形的特点。建筑师运用了分形几何的三维化表达，建筑表皮形式是由直角边比例为1:2的直角三角形组合而成。相同比例的直角三角形可组合成多种形状，这样依次的反复、拼合，形成一个复杂的具有多个尺度层级的自相似图形肌理。五个三角形组成一块面板，五块面板叠加构成主要的装配构造单元，五个单元相互组合组成一个框架，几个框架组成一个更大的框架，固定在镀锌的钢框架上。建筑师基于分形几何的特点进行设计，使得建筑整体具有高度统一的特点，包括质感、色彩和线条的一致性，建筑具有多个层级的细部，局部放大后与整体具有自相似的细节，呈现自相似、尺度层级叠加、递归的分形特点(图8)。
(4) SOHO尚都
2005年，作为实验建筑工作室在中国的第一个建筑作品，北京SOHO尚都的设计风格与墨尔本联邦广场十分接近，在空间关系上强调丰富的变化和千差万别。整个建筑立面是由不规则折面构成，大楼表面的各个玻璃侧面雕刻许多相互交织的几何线条。建筑师用分形几何的方式建构了新奇的建筑形态和巨大的建筑尺度，成为北京CBD的一道独特的风景线。他将分形几何建筑化，即用网络及多构成的网格来描述结构。在设计中戴维森以一个直角边之间具有1∶2比例关系的矩形为几何单元，通过各个单元间连续与间断的组合，随机地形成建筑表皮的分形几何网络(图9)。
3 基于分形几何的建筑形态生成实验
基于分形的设计过程可以建立在Rhino软件、Grasshopper插件和Python脚本语言等基础上，以实现特定几何图形的递归过程。通过构建参数化模型，建筑师将设计构思转化为可视化的图形生成框架，基于分形几何的自相似、尺度层级叠加和递归等特点制定生成逻辑和规则，实现分形几何与建筑形态生成的结合。
3.1 经典分形模型——科赫雪花曲线
在Rhinoceros输入（点或线），结合Grasshopper插件和Python语言，对经典的分形图形进行模拟，如科赫雪花曲线等。定义一个等边三角形并将其分开，以其中的1条直线段为起始，将其三等分，用一个隆起的等边三角形的另外两边替换原线段的中间1/3段，得到一条由4个等长直线段构成的折线；之后，再分别以这4个直线段为起始，同样三等分，并将每一个直线段的中间1/3段用一个次级隆起的等边三角形的两边代替，从而生成一条由16个等长直线段构成的折线。其余两条边按照上述递归过程，得到首尾闭合的科赫雪花曲线（图10）。
3.2 分形几何与建筑表皮——大埃及博物馆
在大埃及博物馆的设计中，经典的Sierpinski三角形的形态为单元模式，可通过算法将分形几何用于立面的设计中。首先以三角形作为基底，然后取三边上相同相对位置d的点，连线分为四个小三角，去掉中间的小三角形，再对剩余的小三角形进行同样的操作，迭代n次后，得到最终的分形图案，而且每次迭代的深度不同。本文通过运用Python进行编程，在Grasshopper中进行模型的可视化展示，模拟在实际项目中的运用（图11）。
3.3 分形几何与复杂形态——阿卜杜拉石油研究中心
2017年，由扎哈·哈迪德建筑事务所设计完成的位于沙特阿拉伯首都利雅得（Riyadh）的阿卜杜拉国王石油研究中心建成投入使用。这栋建筑呈蜂窝状铺展并由晶格结构相连，仿佛一块被拂去黄沙掩盖的水晶。这座占地70000m2的园区包括能源知识中心、能源计算机中心、会议中心、研究图书馆以及祷告堂，五栋不同功能的建筑如生长的细胞般被有机连结。通过模拟建筑形态设计生成的过程，直观展现分形几何与建筑形态生成的结合。首先，在Rhino和Grasshopper中，构建UV平面并进行六边形的细分，通过控制变量，用内外结构线进行筛减，形成建筑平面轮廓。其次，在每个六边形内部再嵌套三个小六边形，构建多个尺度层级的局部与整体自相似的建筑图案。考虑场地因素，通过曲线扰动对六边形进行缩放变形。然后基于轮廓线形成面域，并进行推拉形成初步的形体。通过曲线干扰，形成高低起伏的建筑形体（图12）。建筑以模块化的六边形蜂窝结构有机排列在一起,如有扩建需求，结构可如细胞生长一样向外延伸。在建筑表皮的生成中，建筑师结合分形几何进行参数化设计。建筑形体表面是由自由曲面组合而成的连通曲面，表皮主要由两部分组成。一部分是在曲面上鳞片式排列的平面铝板幕墙，另一部分是按斜交网格排列鳞片式棱形平面玻璃幕墙（图13）。
4 结语
几何构成是西方古典主义的基础，在古希腊哲学中，几何是世界的本原和秩序，从毕达哥拉斯对黄金分割的发现到柏拉图对几何的崇尚，从古希腊罗马到文艺复兴、法国古典主义到启蒙运动之后的新古典主义，对几何秩序的追求构成了西方建筑的永恒主题，并延伸到现代主义建筑。分形几何不仅丰富了当代建筑形式语言，产生了全新的建筑空间形式，同时也对建筑形态的数字生成提供了新的可能。本文通过尺度层级、自相似性、递归生成等多个方面，深入分析分形几何在国外建筑设计典型案例中的运用，探索基于分形几何的数字建模流程和方法，通过对经典分形几何模型和建筑设计案例的生成过程进行模拟，直观展现在建筑形态生成中广泛运用分形几何的趋势和重要性，为拓展建筑师的设计视野、启迪设计思维和更新设计观念提供一定的参考。
